基于空间啮合的内齿轮剃齿干涉分析

摘要：用空间啮合理论建立了内齿轮剃齿时展成干涉校核的数学模型，并给出了展成干涉与内齿轮和剃齿刀的齿数差、轴交角以及内齿轮的变位系数 间的关系。该模型不仅可用于 内齿轮剃齿时的展成干涉校核，也为交错轴螺旋齿轮 内啮合传动的干涉校核提供了方法。 
关键词：空间啮合理论  内齿轮 剃齿 干涉校核

引言
    内齿轮剃齿，可视为空间螺旋齿轮啮合传动来研究：当内螺旋齿轮啮合传动时，可能产生三种干涉。一是小齿轮的齿顶和内齿轮的齿根过渡线产生干涉；二是内齿轮的齿顶和小齿轮轮齿齿根的过渡曲线产生干涉；三是小齿轮轮齿在脱离啮合之前与内齿轮齿顶相碰，而产生啮合干涉。但在内齿轮剃齿前，经过剃前插齿后齿根部分已有少量沉割，因此一般不会产生第一种干涉。又因作为小齿轮的剃齿刀在齿根处均设计有退刀孔，所以亦不会产生第二种干涉。内齿轮剃齿时，唯一可能产生的是第三种干涉。本文称这种干涉为展成干涉，并就这种干涉进行分析和讨论。
和内齿轮插齿不同，内齿轮剃齿是按交错轴螺旋齿轮传动原理来加工的，无法将其视为某一截面内的平面啮合传动来研究。两轮的相对运动为沿转动一滑动轴的螺旋运动-引，因此无法借鉴内齿轮插齿时展成干涉的分析方法，必须建立新的数学模型来研究内齿轮剃齿时的展成干涉问题。

1数学模型
    如图1所示建立坐标系，其中S₀（o₀-x₀y₀z₀）为工件静止坐标系，o₀轴与工件轴线重合；S₂（₂-x₂y₂z₂）为与工件固联的运动坐标系，o₂z₂轴与o₀z₀轴重合：S（0-xyz）为剃齿刀静止坐标系，oz轴与剃齿刀轴线重合，ox轴与o₀x₀轴共线；S₁（o₁-x₁y₁z₁）为与剃齿刀固联的运动坐标系，0₁z₁轴与oz轴重合。工件系与刀具系的原点相距为α，工件轴线与刀具轴线的交角为Σ。令剃齿刀随运动坐标系S₁绕0₁z₁轴转过角Φ₁，此时内齿轮随其运动坐标系S₂绕0₂z₂轴转过Φ₂角：若剃齿刀与内齿轮的传动比为i₁₂，则
    
    式中 
    z₁ ——剃齿刀齿数 
    z₂ ——内齿轮齿数 
    由图 1可得内齿轮运动坐标系 S₂ 与剃齿刀运动坐标系 S₁ 间的转换关系[3]
    
    式中，为坐标转换矩阵， 可写成 
    
    若要求在刀具运动坐标系S₁的 o₁- x₁y₁平面内的某点与工件运动坐标系S₂间的转换关系，可令 
    
    将式（3），式（4），式（5），式（6）及式（7）代入式（2），经矩阵乘法运算并整理后有
    
    式（8）给出了刀具运动坐标系 S₁中的o₁- x₁y₁平面内的坐标与工件运动坐标系 52间坐标的转换关系。若在 S₂中的 o₁- x₁y₁平面中给出某一固定点，式（8）便表示该点在  S₂中的运动轨迹曲线。
    如图 2所示，在刀具运动坐标系 S₁中过原点 O₁作一剃齿刀端截面，在此截面中刀齿顶点 Q的坐标可写成 
    

    
    
    把式（9）代入式（8）便得到剃齿刀齿顶p点在工件运动坐标系S₂中的轨迹曲线方程。 
    设内齿轮为直齿轮，如图3所示在工件运动坐标系 S₂中，过内齿轮轮齿顶点 B点和 o₂z₂轴作平面该平面σ，方程可写成 
    
    
    剃齿时，在坐标系S₂内剃齿刀齿顶 Q点的运动轨迹曲线必与平面σ相交，如图4所示，设交点为 E。 
    为求交点的坐标值，可将式（9）代入式（8），再把式（8）代入式（10）并整理后有
    
    
    考虑到Φ₁=i₁₂Φ₂ ，式（11）为含参数Φ₂ 的超越方程，可用数值方法求解。再把求得的 Φ₂  、Φ₁   值代回式（8）便可求得交点 E的坐标值 （x_2E ，Y_2E ， z_2E ）。设E点到o₂z₂轴的距离为 L，则 
    
    若L与内齿轮顶圆半径R_φ2的差值用ΔR表示，则
    
    由式（12）的值可判别剃齿时内齿轮和剃齿刀是否发生展成干涉 。 

2  中心距a与轴交角Σ的计算
    在进行上述干涉校核之前，必须计算所用的剃齿刀与被加工内齿轮啮合传动时的轴交角Σ和中心距a。为此，过ox轴作法剖面，则由交错轴传动的无侧隙啮合方程有 
    
    
    当内齿轮为直齿β₂=0。将式（14），式（15）， 式（16）代入式（13）并整理后有 
    
    把式（18）代入式（17）后 ，式（17）为含未知数的超越方程，可用数值方法求解。解出后，内齿轮的节圆半径为 
    
    剃齿刀的节圆半径为 
    
    由式（19）、式（20）可得中心距a为
    
    
3 计算例
    所用内齿轮和剃齿刀的基本参数为内齿轮：模数m=4，分度圆压力角 α₂=20^o，分度圆螺旋角β₂=0，齿 数 z₂=70，齿顶高系数f=1，变位系数ξ₂=0.5，分度圆留剃余量δ=0；剃齿刀：法向模数m_n =4，法向压力角α_n=20^o，分度圆螺旋角 β₁=5_o,齿数 z₁=41。
    为研究各种参数（如齿数差 ΔZ，轴交角Σ ，变位系数ξ₂）对展成干涉可能性的影响，在保持上述其余参数不变的情况下 ，改 变内齿轮的齿数 z₂，从而改变了内齿轮和剃齿刀的齿数差，计算出一系列的Δ尺值，并绘制成如图 5所示的曲线。同样，保持其他参数不变，仅改变内齿轮的变位系数，计算出一系列的Δ尺值，绘制成如图 6所示的曲线。图 7表示轴交角Σ和ΔR的关系曲线。 
    

4 分析与讨论 
    由图5可看出，当内齿轮和剃齿刀的齿数差少于或等于9时，将发生展成干涉。并且由以上的计算结果可知内齿轮剃齿时的展成干涉不仅与内齿轮和剃齿刀的齿数差有关，还与内齿轮的变位系数以及剃齿时的轴交角有关。增大内齿轮和剃齿刀的齿数差，可使发生展成干涉的可能性减少。同样，增大内齿轮的变位系数也可使发生展成干涉的可能性减少。而且在剃齿时，加大轴交角亦可减少发生展成干涉的可能性。 

参考文献 
1 四川省机械工业局 ．齿轮刀具设计理论基础（上）．北京：机械工业 出版社，1982 
2 袁哲俊等．齿轮刀具设计（上）．北京：新时代出版社，1983 
3 姚南同等．数学在刀具设计中的应用，北京：机械工业出版社，1988 
4 吴序堂．齿轮啮合原理．北京：机械工业出版社，1982