柔性臂漂浮基空间机器人建模与轨迹跟踪控制

    摘要：利用拉格朗日法和假设模态方法建立了末端柔性的两臂漂浮基空间机器人的非线性动力学方程．通过坐标变换，推导出一种新的以可测关节角为变量的全局动态模型，并在此基础上运用基于模型的非线性解耦反馈控制方法得到关节相对转角与柔性臂的弹性变形部分解耦形式控制方程．最后，讨论了柔性臂漂浮基空间机器人的轨迹跟踪问题，并通过仿真实例计算，表明该模型转换及控制方法对于柔性臂漂浮基空间机器人末端轨迹跟踪控制的有效性．

    关键词：柔性臂漂浮基空间机器人；动力学；模型转换；轨迹跟踪控制

    Modeling and Trajectory Tracking Control of a Free-Floating Space
Robot with Flexible M anipulators —HONG Zai．di ，YUN Chao ，CHEN Li
（1．Beihang University，Beijing 100083，China； 2．Fuzhou University。Fuzhou 350002，China）

    Abstract：Nonlinear dynamic equations of a free——floating space robot with two manipulators and a flexible end—manipulator are established based on Lagrange and assumed mode methods．Its new global dynamic model in terms of measured joints is derived by coordinate transformation，and the decoupled control quations for joint relative angles and elastic parts of the flexible manipulator are obtained with the model—based nonlinear decoupling feedback control method．Trajectory tracking control of the free floating space robot with flexible manipulators is iscussed，and the numerical simulation shows that the proposed model transformation and control method is eficient in trajectory tracking control of free floating space robot with flexible manipulators．
    Keywords：free—floating space robot with flexible manipulators；dynamics；model transformation；trajectory tracking control

    1 引言（Introduction）
    漂浮基空间机器人是机器人的一个重要发展方向，其主要任务是在宇宙空间代替宇航员完成捕捉失效卫星、建造空间站、维修空间站设施等工作，其原理模型如图1所示．为节省控制燃料、增加空间机器人的有效使用寿命，进而减少发射费用，空间机器人在操作过程中载体位置、姿态均不受控制，且一般使用质量轻、臂展大的柔性操作臂．在这种情况下，机械臂的运动与载体的位姿之间、柔性臂的刚体大位移和弹性振动之间存在着强烈的动力学耦合作用．在操作过程中，机械臂的相对运动引起载体位姿的变化，柔性臂的弹性振动影响关节、末端轨迹跟踪精度．其突出特点表现为：空间机器人为非完整动力学系统，系统动力学方程关于系统惯性参数呈非线性函数关系，系统运动Jacobi关系不仅与系统几何参数有关，还与质量等惯性参数以及柔性臂抗弯刚度有关．在上述情况下，在空间机器人动力学分析及控制规律的设计中应考虑结构弹性，这大大增加了控制系统的设计难度．目前，空间机器人的研究工作已开展了很多¨ J，值得注意的是，其中大部分研究工作是针对刚性臂的空间机器人进行的，而针对柔性臂空间机器人的研究相对较少．顾晓勤 副提出了消除弹性变形对负载位姿影响的方法，并进一步寻求最小驱动力矩及抑制弹性振动的控制规律。本文应用拉格朗Et建模方法和假设模态柔性变形描述方法建立末端柔性的两臂漂浮基空间机器人的非线性动力学方程，通过坐标变换 J，推导出一种新的以可测关节角为变量的全局动态模型．在此基础上，运用基于模型的非线性解耦反馈控制理论，对动力学方程进行部分线性化，实现关节相对转角与柔性臂的弹性变形部分解耦，从而由刚性臂空间机器人逆运动学方法确定关节角的运动规律，进而利用柔性机械臂的力矩控制方法求出关节驱动力矩，以保证臂末端的实际轨迹达到跟踪的期望轨迹．通过仿真实例计算，证明了该模型转换及控制方法在柔性臂漂浮基空间机器人应用中的有效性．
    2 系统的运动学与动力学（Kinematics and dynamics）
    2．1 模型建立
    不失一般性，考虑做平面运动的末端柔性的两臂漂浮基空间机器人系统，如图1．系统由漂浮的刚性载体B₀ 刚性连杆B₁ 和末端柔性连杆B₂ 组成．建立各分体B_i 的联体坐标系（0_i 一x_iy_i ）（i=0，1，2），其中0₀与b₀的质心0_c0重合，0₁ 、0₂：分别与连接b₀与B₁、B₁与B₂的转动铰中心重合； x₀与0₀0₁重合， x₁为机械臂的对称轴，x₂是机械臂B₂未变形时的对称轴，且在运动中始终与柔性梁在0₂相切．设0₁在0₀x₀轴上与0₀的距离为l₀，b₁质心0_c1沿0₁x₁ 的长度为a，B_i沿0_ix_i的长度为l（i=1，2）；分体B_i质量和中心惯量分别为m_i和l_i（i=0，1），且柔性莲杆线密度为P．

    任取一点0建立系统参考惯性坐标系（0-XY），各分体沿（ x，y）平面做平面运动，设e_i 为x_i（ =0，1，2）轴的基矢量，矢量e₃ 为Y₂轴的基矢量．忽略柔性臂轴向变形，由Euler—Bemolli梁理论，柔性臂的弹性位移“模态函数展开表示为：

    其中φ_i（x₂）为柔性臂第i阶模态函数，δ_i（t）为与φ_i（x₂）对应的模态坐标．
    设各分体质心0_ci相对0的矢径为r_i（i=0，1），柔性臂上任一点P相对0的矢径为r．由系统几何关系得：

设载体、刚性连杆、柔性连杆的动能分别为Ti（i=0，1，2），系统的总动能为T，由理论力学知识易得到：

则本文中变量上标“·”和“^..”分别表示相应变量对时间的一阶导数和二阶导数。
    忽略重力的作用，可认为整个系统重力势能为零；且柔性机械臂为线弹性变形，故系统总势能等于柔性连杆的弯曲应变能．由材料力学相关理论，并取系统广义模态坐标前两项得：

其中EI为柔性臂抗弯刚度。故系统的拉氏函数为L＝T₀＋T₁＋T₂－V.
    假设空间机器人系统在操作过程中处在漂浮状态，载体的姿态和位置均无控制，则设变量为系统广义坐标，其中x₀、y₀为矢径r₀分别向X 、Y轴投影的值，α为x₀轴相对X轴的偏角，θ₁为x₁轴相对x₀轴的转角，θ₂为x₂轴相对x₁ 轴的转角，因此相应的广义力为其中为o₁、o₂铰关节控制力矩．由于空间机器人系统在操作过程中处在漂浮状态，载体的姿态和位置均无控制，且忽略重力的影响，空间机器人系统为无外力作用的自由浮动无根多体系统，遵守对（0-XY）的动量守恒及相对0点的动量矩守恒关系，即系统运动受到线动量守恒及角动量守恒关系的约束．不失一般性，设系统相对（0-XY）的初始动量和相对0点的初始动量矩均为零，载体、刚性机械臂和柔性机械臂相对于坐标系（0-XY）的动量分别为Q （i=0，1，2），系统总动量Q-根据理论力学知识得：
则。将．将Q分别向X轴和Y轴投影，结合假设初始条件推导写成矩阵形式如下：

    将拉氏函数和广义力代入拉格朗日方程：

其中q_i为系统的广义坐标， F_i为广义坐标q_i 相对应的广义力．不考虑结构粘性阻尼，结合式（12），经过推导并整理，可得到如下封闭形式的柔性臂空间机器人系统的动力学非线性方程；

其中，为4×4正定、对称、时变广义质量阵，，包含哥氏力、离心力和弹性力，为变量耦合4×1列阵．记M_4×4=
    2.2 模型转化
    式（14）给出模型夫于变量0的方程，但在实际系统中θ的方程，但在实际系统中，θ₁θ₂只能得到由编码器测的角位移θ_c：


    3 轨迹跟踪控制（Trajectory tracking contro1）
    式（16）是关于σ 、θ_c、δ变量的系统动力学方程，对于臂末端轨迹跟踪控制系统，由于弹性变形变量是不可观i贝4的，利用非线性解耦反馈控制方法对式（16）进行部分线性化．式（16）写成两式：

式（2O）在形式上与刚性臂漂浮基空间机器人的方程相似，类似于刚性臂漂浮基空间机器人的广义质量阵；类似于刚性臂漂浮基空间机器人的非线性哥氏力、离心力项．
    设基于模型的控制规律为：
其中为给定的期望关节角轨迹、角速度和角加速度规律．式（19）一（23）导出柔性臂空间机器人系统的控制方程如下：

式（24）对应于机械臂关节变量θ_c的线性方程组，式（25）对应于弹性变量δ的耦合非线性方程组．式（2O）、（22）一（25）构成了基于非线性解耦反馈控制的轨迹跟踪控制方案．
    设关节角偏差e（t）=θ_c（t）一θ_d（t），由式（24）可得偏差方程如下：

选择适宜的K_p和K_v 可使式（26）完全解耦，进而使机械臂关节角θ_c跟踪期望的关节角轨迹θ_d．柔性臂空间机器人末端轨迹跟踪过程为：利用刚性臂空间机器人的逆运动学方程求出与臂末端轨迹对应的各关节角运动规律，再由带柔性臂空间机器人的力矩控制方程确定关节的驱动力矩，输入到系统中得到柔性臂空间机器人末端跟踪期望轨迹的实际运动轨迹．
    4 仿真算例（Simulation example）
    设空间机器人系统动力学参数如下：

反馈增益矩阵 K_p=diag[22]，K_v=diag[160 160]．
本系统柔性机械臂可视为悬臂梁，由振动理论可知，悬臂梁的主振型函数为：

    取前二阶模态（i=1，2），由悬臂梁的振动模态可知：

仿真采用末端期望轨迹规律：

仿真结果如下：


5 结论（Conclusion）
    由于漂浮基空间机器人采用轻质细长机械臂，结构弹性在轨迹跟踪控制规律中的设计中必须予以考虑。在操作过程中，机械臂的运动引起载体位姿的变化，柔性臂的振动影响关节、末端轨迹跟踪精度，这使得末端轨迹跟踪十分困难。理论分析及仿真结果表明，本文所提出模型转换及控制方法对于求解非线性、强耦合性的柔性臂漂浮基空间机器人末端的轨迹跟踪控制是有效的，而且实际运动轨迹与设定期望相比误差也较小，已经满足控制设计要求。本文所述的模型转化方法给柔性臂浮基空间机器人反馈控制器的设计和实现带来方便，可减少在实际控制中由于动力学模型变量与实际检测变量不同而引起的变量转换，且可有效抑制柔性臂振动．
    进一步仿真分析发现，为了满足跟踪误差精度要求，可适当调整K_p 、K_v值；增加K_p值，可以有效抑制机械臂末端的振动并降低跟踪误差；在同等精度条件下， 。取值比在全刚性机械臂情形下尢从图3可知，当空间机器人运动时，柔性臂将会出现一定的微振动，这是考虑机械臂的弹性变形所引起的．本文的模型转换及控制方法虽然是针对末端柔性的两臂空间机器人系统提出的，但同样适用于一般多柔性臂的空间机器人系统．

    [1] Papadopoulos E G，Dubwsky S．On the nature of control algorithms for free floating space manipulators[J] IEEE Transactions on Robotics and Automation，199 ，7（6）：750—758．
    [2] 陈力，刘延柱．漂浮基空间机器人协调运动的自适应控制与鲁棒控制[J] 机械工程学报，2001，37（8）：18—22．
    [3] 陈力，刘延柱．参数小确空间机械臂的增广自适应控制[J]．航空学报，000，21（2）：150—154．
    [4] 陈力，刘延柱．空间机器人状态与末端抓手协调运动的鲁棒自适应控制[J]，工程力学，2002，19（2）：165—170，
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    [6] 洪在地，陈力．漂浮基空间机器人双臂协调操作逆运动学的完全笛卡尔坐标方法[J]，机械科学与技术，2003，22（6）：931— 933．
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    [8] 顾晓勤，谭朝阳．漂浮弹性空间机械臂动力学及振动抑制[J]．宇航学报，1999，20（3）：9l一95，
    [9] 朱蓓蓓，徐建闽，周其节．两连杆柔性前臂机器人的模型[J]．华南理工大学学报（自然科学版），1997，25（12）：8—11．
作者简介：
    洪在地（1977一），男，博士生．研究领域：机器人技术．
    负超（1952一），男，教授．研究领域：柔性多体系统动力学，机器人技术和机器人控制．
    陈 力（1961-），男，博士，教授．研究领域：多体系统动力
学，空间机器人系统动力学与控制，非线性振动及振动控制．