差分法是求解偏微分方程的一种主要方法，其要点是在空间和时间2个方向上使问题离散化，用差商近似代替导数，将微分方程变为差分方程，然后从初始条件出发，按时间逐步推进得出解答。
当考虑输电线路参数频率特性影响和电晕影响时，三相传输线线电压矩阵u＝［uA（x，t），uB（x，t），uC（x，t）］T和电流矩阵i＝［iA（x，t），iB（x，t），iC（x，
t）］T满足下面的双曲方程组：
式中 x为一维空间坐标，方向从线路首端指向线路末端；t为时间坐标；i的参考方向与x相同；uf为模拟单位长度上线路参数频率特性影响的附加电压降矩阵，在特征差分法中uf＝［ufA（x，t），ufB（x，t），ufC（x，t）］T；icor为单位长度上的电晕电流矩阵，icor＝［icA（x，t），icB（x，t），icC（x，t）］T；C0为线路电容矩阵：
L0应满足条件
式中 c为光速。
差分法要求将线路均匀分段，把各段的uf和icor移到每段形成的节点Z和Y，使实际的线路离散为由若干无损线段与节点Z、Y组成的链形回路。相邻节点的电压矩阵和电流矩阵在时间上满足一定的关系，即前向行波和反向行波方程，见图1。图中p、d、q三点为空间上相邻的节点，h为空间步长，即分段后每段的长度，△t为时间步长，△t＝h／c。这样，就可以将双曲方程组离散为前向行波和反向行波的方程：
（ud－up）＋z0（id－ip）＝－h（uf＋z0icor）（4）
（ud－uq）－z0（id－iq）＝h（uf－z0icor） （5）
式中 z0＝［L0C0］－1／2。
这样，若点d为线路端点，则用前向行波方程或反向行波方程与端部条件联立求解；若点d为线路的内节点，则由上面两式联立求解。
计算中，电晕电流可采用文1提供的方法进行计算，若不考虑电晕的影响，只需将矩阵icor取为零。uf是线路参数频率特性的电压降矩阵，见图2，图中各元件的参数可采用文2中的方法确定。
2 特征差分法数值计算不稳定性的修正
计算中发现，线路参数频率特性网络数据的微小变化，就会引起整个计算的不稳定，从而导致计算无法正常进行。
由于前向行波方程和反向行波方程中的uf是单位长度上由于线路参数频率特性的影响而引起的附加电压降矩阵，参见图2，有
采用三点数值微分公式离散后，有
式中 t、t－Δt、t－2Δt分别表示该变量当前时刻、Δt前时刻、2Δt前时刻的值。
在特征差分法中，一般为了简化计算，采用的是显式方程，i1，i2，…，in取为该点Δt前的已知电流i′1，i′2，…，i′n，或该点空间前一点该时刻的已知电流i″1，i″2，…，i″n。这种简化在一般的计算中是可行的，但这种方法对线路频率特性网络参数的变化十分敏感，易引起数值振荡，导致计算不稳定的发生。从物理概念上讲，由于网络中存在着储能元件L1，L2，…，Ln，流过它们的电流i1，i2，…，in不能突变，而给它们赋予一确定值时，即是强制其突变，从而会导致电流的导数di／dt极大，甚至趋于无限大，这就是其数值不稳定性的根本原因。对于这种不稳定，可采取以下措施解决：把电流i1，i2，…，in作为变量，i＝i1＋i2＋…＋in是当前计算点当前时刻的值，即将求解方式变为隐式求解，这样，虽然计算过程复杂了一些，但由于高性能电子计算机的广泛使用，使得计算结果更准确，而且消除了数值振荡的问题。
3 特征差分法在EHV电力系统合闸操作过电压计算中的应用
由于条件的限制，对EHV电力系统的合闸过电压尚不能进行大量的现场实测，与利用物理模拟的研究方法（如TNA）相比，数值计算方法在结果的准确度、考虑因素的全面性、研究的灵活性等方面均不逊色，因此，选用数值计算的数字模拟来研究EHV电力系统的合闸过电压，特别是研究取消合闸电阻后的合闸过电压是合理的方法。
因为取消合闸电阻后，合闸操作过电压的沿线分布与取消前有很大的不同，呈现出线路两端低中间高的形状，所以，过电压计算部分采用特征差分法是一个比较好的选择，其最大的特点是能方便地计算线路沿线的过电压分布。
3．1 各元件的数学模型与程序实现
电力系统中的感性元件主要有电源等值电感和并联电抗器。从理论上讲，并联电抗器应为非线性电感。但由于操作过电压的频率高于工频，电抗器饱和不深，因此为了从严考核避雷器，简化计算，可假定并联电抗器的外部特性为线性。这样，当u的参考方
在三相系统中，形成矩阵，即有
采用时控矩阵来模拟三相开关的伏安特性： u＝RS i （10） 式中 R为开关两端的电压；i为流过开关的电流；RS为
如果在时刻t＝t1，A相开关接入合闸电阻Rc，t＝t2时刻短接Rc，则
类似地可以得到另外两相的开关模拟，当t1＝t2时，即可模拟无合闸电阻时的情况。
金属氧化锌避雷器（MOA）无串、并联间隙，是典型的非线性元件。MOA的模拟可采用数值计算稳定性较好的分段线性模拟，见图3。
分段线性模拟的基本方法为：U＝Ek＋RkI。矩阵形式为U＝Ek＋RkI。当分段数达到一定数量时，可较准确地模拟MOA的伏安特性。
因为MOA的准确模拟是整个计算的基础，可将采用的分段线性模拟方法与IEEE模型［3］（见图4）进行了对比计算，对同一伏安特性的MOA，验证分段线性模型的准确性，所用的电流波形是斜角波和正弦波，对比结果见表1（IEEE模型耗散能量为图4中所有消耗有功能量之和），从表中可看出分段线性模型的准确性。
3．2 等值网络计算模型与各元件连接的数字模拟
对采用复杂网还是简单网，采用双回线还是单回线进行计算的问题，用EMTP进行对照计算，计算结果表明，简单网单回线时合闸过电压最为严重，因此确定等值网络计算模型采用简单网单回线的结构。
由上节可看出，电力系统每一元件的数学模型均有如下形式：
设系统一共有n个元件：
u1＝A1i1＋B1（15a）
u2＝A2i2＋B2 （15b） …
un＝Anin＋Bn（15n）
当n个元件并联时，有
u1＝u2＝…＝un＝u（16）
i1＋i2＋…＋in＝i（17）
从而有
A＝［A1－1＋A－12＋…＋An－1］－1（18）
B＝A1－1B1＋A－12 B2＋…＋An－1Bn（19）
当n个元件串联时，有 i1＝i2＝…＝in＝i（20）
u1＋u2＋…＋un＝u（21）
从而有 A＝A1＋A2＋…＋An（22）
B＝B1＋B2＋…＋Bn（23）
这样就可将整个等值网络转变成矩阵方程，用特征差分方法求解。
3．3 单相重合闸初值的确定
当系统发生故障跳闸、故障消除后重合时，系统的初值不为零，这是因为故障相导线对地相当于一个电容，而并联电抗器是一感性元件，这些储能元件中的电压和电流是不能突变的，因此，整个合闸过程如图5所示，电容C和电感L在t＝0－时均有初值u0和i0。
严格地讲，计算单相重合闸过电压时必须模拟整个暂态过程，即故障前的稳态、故障、跳闸、故障消除、重合闸等，但考虑到重合闸的时间一般为0．3 s到1．0 s，重合时可以认为故障的暂态过程已经结束，所以从重合闸瞬间开始进行计算不会带来太大误差。
单相重合闸的初值可以通过求解系统跳闸时接线的稳态值获得，设A相为故障相，u01为故障相首端恢复电压，u02为故障相末端恢复电压。由故障边界条件：A相电流为零，B、C相断口电压为零，有
式中 下脚标A、B、C分别表示A、B、C三相；上角标（0）、（1）、（2）分别表示零序、正序、负序；S＝1为
网络结构见图6。
一步等效，参见图7，则有
联立本节各方程式，采用对称分量法即可推导出首端恢复电压u01。
3．4 计算程序的实现
采用消除数值振荡的特征差分法来研究EHV电力系统合闸过电压及线路侧断路器取消合闸电阻时的技术条件，所开发的软件必须具备以下功能：
根据归算后不同电力系统的初始条件（电源参数、线路参数、是否安装合闸电阻、避雷器的布置方式、并联电抗器的布置方式等），自动模拟合闸（单相重合闸）过程（合闸时间可分别按均匀分布和正态分布处理），计算线路沿线各相对地过电压、相间过电压及各相避雷器中流过的最大电流、最大半波能量、1次合闸操作累计吸收能量；120次操作中最大对地过电压、最大相间过电压、2％对地过电压、2％相间过电压、50％对地过电压及标准偏差、50％相间过电压及标准偏差、避雷器最大耗散能量、避雷器平均耗散能量及标准偏差、线路绝缘统计故障率（包括相对地及相间）等。
图8给出了本文介绍的软件的PAD（ProblemAnalysis Diagram）。
软件的测试与验证与CIGRE提供的网络3进行了对比，并与TNA实测（中国电力科学研究院提供）结果进行了比较。对比结果表明所述软件的计算结果是可信的。
4 结束语
采用隐式求解方式后的特征差分法可以消除数值振荡，利用该方法开发的软件可以计算合闸（单相重合闸）过电压、MOA耗散能量和线路绝缘统计故障率。经比较检验，所开发软件的计算结果是可信的，可以满足工程计算和工程设计的需要。
参考文献
[1] 闵保民.输电线路的电晕模型及其在操作过电压计算中的应用[C].西安:西安交通大学,1985.
[2] 王清海.用氧化锌避雷器限制合闸操作相间过电压[C].西安:西安交通大学,1987.
[3] 施围.电力系统过电压计算[M].西安:西安交通大学出版社,1988.
